Вычислить значение полинома в данной точке

Delphi , Синтаксис , Математика

Оформил: DeeCo
Автор: http://www.swissdelphicenter.ch

// Simultaneous evaluation of a given polynomial and its first derivative at a given point 
// Simultane Berechnung des Wertes eines Polynoms n-ten Grades und seiner Ableitung 

type
   TPolynomArray = array of Double;

 procedure Horner(Polynom: TPolynomArray; X: Extended; var FX, derivation: Extended);
 var
   i: Integer;
   H: Integer;
 begin
   H := High(Polynom);
   FX := Polynom[H];
   derivation := 0.0;
   for i := H - 1 downto 0 do
   begin
     derivation := derivation * X + FX;
     FX := FX * X + Polynom[i];
   end;
 end;

 {Beispiel / Sample code }

 procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
 var
   X, FX, derivation: Extended;
 begin
  (* Horner''s scheme give an algorithm for the simultaneous evaluation
    of a given polynomial and its first derivative at a given point *)

  (* Hornerschema zur Berechnung eines Polynoms n-ten Grades an einem
     bestimmten Punkt *)

   (* f(x) = 3 x^5 + 4 x^4 + 13 x^3 - 59 x^2 + 19 x - 97 *)

   X := 2.5;
   Horner(VarArrayOf([-97, 19, - 59, 13, 4, 3]), X, FX, derivation);
   ShowMessage(Format('x = %n'#13#10'f(x) = %n'#13#10'f''(x) = %n'    , [X, FX, derivation]));
 end;

Программный код на Delphi - это реализация схемы Хорнера для одновременного вычисления заданного полинома и его первой производной в заданной точке. Вот подробное описание, что код делает:

Тип TPolynomArray - это массив двойных значений, представляющий коэффициенты полинома.

Процедура Horner принимает три параметра: Polynom, который является массивом коэффициентов полинома; X, которая является точкой для вычисления полинома и его производной; а также FX и derivation, которые являются переменными для хранения результатов.

Внутри процедуры Horner:

1. Она инициализирует H как индекс最高ого элемента массива Polynom.
2. Она устанавливает FX в последний элемент массива Polynom, который является постоянной частью полинома.
3. Она устанавливает derivation в 0,0, которое будет использоваться для накопления производной.
4. Код затем циклически проходит от H-1 до 0 (включительно). В каждой итерации:
   • Она обновляет derivation путем умножения его на X и добавления FX. Это эквивалентно вычислению производной полинома с помощью правила цепи.
   • Она обновляет FX путем умножения его на X и добавления текущего терма из массива Polynom. Это эквивалентно вычислению полинома в точке X.
5. После цикла, FX будет содержать значение полинома, вычисленного в точке X, а derivation будет содержать значение его производной.

Пример кода в конце демонстрирует, как использовать процедуру Horner:

1. Он объявляет три переменные: X, FX и derivation.
2. Он устанавливает X в 2,5, которая является точкой для вычисления полинома.
3. Он вызывает процедуру Horner с следующими аргументами:
   • Коэффициенты конкретного полинома (в этом случае VarArrayOf([-97, 19, -59, 13, 4, 3])).
   • X, которая является точкой для вычисления полинома.
   • FX и derivation, которые являются переменными для хранения результатов.
4. Наконец, он отображает результаты с помощью сообщения:

x = 2,5
f(x) = ...
f'(x) = ...

Код является эффективным способом вычисления полинома и его производной в заданной точке, особенно для высоких степеней полиномов.

В отношении альтернативных решений, есть другие алгоритмы для вычисления полиномов, такие как метод Ньютона-Рафсона или интерполяция Лагранжа. Однако схема Хорнера особенно подходит для этого задания из-за ее простоты и эффективности.

В статье описывается алгоритм Хорнера для одновременного вычисления значения полинома и его первой производной в заданной точке.

Комментарии и вопросы

Получайте свежие новости и обновления по Object Pascal, Delphi и Lazarus прямо в свой смартфон. Подпишитесь на наш Telegram-канал delphi_kansoftware и будьте в курсе последних тенденций в разработке под Linux, Windows, Android и iOS

:: Главная :: Математика ::