Расчет ускорения с использованием кубической кривой Безье в Delphi

Delphi , Синтаксис , Математика

Кубическая кривая Безье является мощным инструментом для интерполяции и создания гладких кривых. Она широко используется в графическом дизайне, анимации и других областях. В данной статье мы рассмотрим, как с помощью Delphi можно вычислить ускорение на заданном значении времени ( T ) между 0 и 1, используя кубическую кривую Безье.

Что такое кубическая кривая Безье?

Кубическая кривая Безье определяется уравнением:

[ B(T) = (1 - T)^3 cdot P_0 + 3(1 - T)^2 T cdot P_1 + 3(1 - T) T^2 cdot P_2 + T^3 cdot P_3 ]

где: - ( P_0, P_1, P_2, P_3 ) — контрольные точки. - ( T ) — параметр, изменяющийся от 0 до 1.

Для примера рассмотрим кривую ( text{cubic-bezier}(0.42, 0, 0.58, 1) ): - ( P_0 = (0, 0) ) (начальная точка). - ( P_1 = (0.42, 0) ). - ( P_2 = (0.58, 1) ). - ( P_3 = (1, 1) ) (конечная точка).

Проблема: Как получить ускорение?

Как было указано в вопросе, кубическая кривая Безье возвращает точку (с координатами ( X ) и ( Y )), а не одно значение ускорения. Чтобы получить ускорение, нужно вычислить производные кривой Безье по времени ( T ).

Вычисление производных

Производная кубической кривой Безье по ( T ) дает скорость, а вторая производная — ускорение. Давайте выясним, как это сделать.

1. Первая производная (скорость):

[ B'(T) = -3(1 - T)^2 cdot P_0 + 3(1 - 2T)(1 - T) cdot P_1 + 3(2T - 1)T cdot P_2 + 3T^2 cdot P_3 ]

1. Вторая производная (ускорение):

[ B''(T) = 6(1 - T)(1 - 2T) cdot P_0 - 6(1 - 2T)T cdot P_1 + 6(2T - 1)T cdot P_2 + 6T(1 - T) cdot P_3 ]

Реализация в Delphi

Давайте напишем функции для вычисления кубической кривой Безье, её производных и ускорения.

type
  TPoint = record
    X, Y: Double;
  end;

function Bezier(T: Double; P0, P1, P2, P3: TPoint): TPoint;
begin
  Result.X := (1 - T) * (1 - T) * (1 - T) * P0.X +
              3 * (1 - T) * (1 - T) * T * P1.X +
              3 * (1 - T) * T * T * P2.X +
              T * T * T * P3.X;

  Result.Y := (1 - T) * (1 - T) * (1 - T) * P0.Y +
              3 * (1 - T) * (1 - T) * T * P1.Y +
              3 * (1 - T) * T * T * P2.Y +
              T * T * T * P3.Y;
end;

function BezierFirstDerivative(T: Double; P0, P1, P2, P3: TPoint): TPoint;
begin
  Result.X := -3 * (1 - T) * (1 - T) * P0.X +
              3 * (1 - 2 * T) * (1 - T) * P1.X +
              3 * (2 * T - 1) * T * P2.X +
              3 * T * T * P3.X;

  Result.Y := -3 * (1 - T) * (1 - T) * P0.Y +
              3 * (1 - 2 * T) * (1 - T) * P1.Y +
              3 * (2 * T - 1) * T * P2.Y +
              3 * T * T * P3.Y;
end;

function BezierSecondDerivative(T: Double; P0, P1, P2, P3: TPoint): TPoint;
begin
  Result.X := 6 * (1 - T) * (1 - 2 * T) * P0.X -
              6 * (1 - 2 * T) * T * P1.X +
              6 * (2 * T - 1) * T * P2.X +
              6 * T * (1 - T) * P3.X;

  Result.Y := 6 * (1 - T) * (1 - 2 * T) * P0.Y -
              6 * (1 - 2 * T) * T * P1.Y +
              6 * (2 * T - 1) * T * P2.Y +
              6 * T * (1 - T) * P3.Y;
end;

function CalculateAcceleration(T: Double; P0, P1, P2, P3: TPoint): Double;
var
  SecondDerivative: TPoint;
begin
  SecondDerivative := BezierSecondDerivative(T, P0, P1, P2, P3);
  Result := SecondDerivative.Y; // Ускорение по оси Y
end;

Пример использования

Давайте создадим пример, который вычисляет ускорение на заданном значении ( T ).

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
var
  P0, P1, P2, P3: TPoint;
  T: Double;
  Acceleration: Double;
begin
  // Установите контрольные точки
  P0 := TPoint.Create(0, 0);
  P1 := TPoint.Create(0.42, 0);
  P2 := TPoint.Create(0.58, 1);
  P3 := TPoint.Create(1, 1);

  // Установите значение T
  T := 0.5; // Пример: T = 0.5

  // Вычислите ускорение
  Acceleration := CalculateAcceleration(T, P0, P1, P2, P3);

  // Выведите результат
  ShowMessage('Ускорение в момент T = ' + FloatToStr(T) + ' равно ' + FloatToStr(Acceleration));
end;

Заключение

В данной статье мы рассмотрели, как вычислить ускорение на заданном значении времени ( T ) с помощью кубической кривой Безье в Delphi. Мы определили уравнения кривой и её производных, а затем реализовали функции для их вычисления. Этот подход можно использовать для создания анимаций с плавными переходами и другими задачами, требующими интерполяции кривых.

Если у вас есть вопросы или вам нужна помощь с реализацией, не стесняйтесь задавать их в комментариях!

Создано по материалам из источника по ссылке.

Кубическая кривая Безье — это математическая модель, используемая для создания гладких кривых, определяемая уравнением, зависящим от контрольных точек и параметра T, изменяющегося от 0 до 1.

Комментарии и вопросы

Получайте свежие новости и обновления по Object Pascal, Delphi и Lazarus прямо в свой смартфон. Подпишитесь на наш Telegram-канал delphi_kansoftware и будьте в курсе последних тенденций в разработке под Linux, Windows, Android и iOS

:: Главная :: Математика ::